Question

已知拋物線：的焦點為，若過點且斜率為的直線與拋物線相交于兩點,且．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線為拋物線的切線，且∥,為上一點，求的最小值．

Answer 1

（1）；（2）-14.

試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質(zhì)、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)合思想、分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，由拋物線的標準方程得焦點F的坐標，再利用點斜式寫出直線方程，由于它與拋物線相交，所以直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消參，利用韋達定理、得到M、N的兩個橫坐標的和，解出P的值，從而得到拋物線的標準方程；第二問，先設(shè)出直線的方程，由于是拋物線的切線，所以2個方程聯(lián)立，得到x的方程后，方程的判別式等于0，解出b的值，從而得到直線方程，設(shè)出p點坐標，結(jié)合第一問得出和坐標，利用向量的數(shù)量積化簡表達式，使之轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的式子，再利用配方法求最值.
試題解析：（1）由題可知，則該直線方程為：，   1分
代入
得：，設(shè)，則有 3分
∵，∴，即，解得
∴拋物線的方程為：．   5分

(2)設(shè)方程為，代入
，得，
因為為拋物線的切線，∴，
解得，∴       7分
由（1）可知：，
設(shè)，則
所以

，，
，，
，∴
                         10分

當且僅當時，即點的坐標為時，的最小值為．   12分