【題目】四棱錐中,底面為矩形, .側(cè)面底面.
(1)證明: ;
(2)設(shè)與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】【試題分析】(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接,由已知,所以,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,有平面,以為原點(diǎn), 為軸, 為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算可得證.(2)設(shè),利用直線和平面所成角為,計(jì)算,再利用平面和平面的法向量計(jì)算二面角的余弦值.
【試題解析】
解:(1)證法一:設(shè)中點(diǎn)為,連接,
由已知,所以,
而平面平面,交線為
故平面
以為原點(diǎn), 為軸, 為軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,并設(shè),
則
所以
,所以.
證法二:設(shè)中點(diǎn)為,連接,由已知,所以,
而平面平面,交線為
故平面,從而 ①
在矩形中,連接,設(shè)與交于,
則由知,所以
所以,故 ②
由①②知平面
所以.
(2)由,平面平面,交線為,可得平面,
所以平面平面,交線為
過作,垂足為,則平面
與平面所成的角即為角
所以
從而三角形為等邊三角形,
(也可以用向量法求出,設(shè),則,可求得平面的一個(gè)法向量為,而,由可解得)
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,
, 可取
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,
,可取
于是,
故二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年2月13日《煙臺(tái)市全民閱讀促進(jìn)條例》全文發(fā)布,旨在保障全民閱讀權(quán)利,培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣,提高全民閱讀能力,推動(dòng)文明城市和文化強(qiáng)市建設(shè).某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)(的值精確到0.01);
(2)為查找影響學(xué)生閱讀時(shí)間的因素,學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時(shí)間為,的學(xué)生中抽取9名參加座談會(huì).
(i)你認(rèn)為9個(gè)名額應(yīng)該怎么分配?并說明理由;
(ii)座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多.請根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù),填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時(shí)間不足(每周閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí))與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)?
閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí) | 閱讀時(shí)間超過8.5小時(shí) | |
理工類專業(yè) | 40 | 60 |
非理工類專業(yè) |
附:().
臨界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
<> | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】改革開放以來,我國農(nóng)村7億多貧困人口擺脫貧困,貧困發(fā)生率由1978年的下降到2018年底的,創(chuàng)造了人類減貧史上的中國奇跡,為全球減貧事業(yè)貢獻(xiàn)了中國智慧和中國方案.“貧困發(fā)生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例.2012年至2018年我國貧困發(fā)生率的數(shù)據(jù)如表:
年份() | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
貧困發(fā)生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)從表中所給的7個(gè)貧困發(fā)生率數(shù)據(jù)中任選兩個(gè),求兩個(gè)都低于的概率;
(2)設(shè)年份代碼,利用回歸方程,分析2012年至2018年貧困發(fā)生率的變化情況,并預(yù)測2019年的貧困發(fā)生率.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與平面直角坐標(biāo)系取相同的長度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸)中,直線的方程為.
(1)求圓的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是.
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過圓:上任意一點(diǎn)作圓的切線與軌跡交于,兩點(diǎn),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列滿足:,當(dāng)',時(shí), (其中表示,,…,中的最大項(xiàng)),有以下結(jié)論:
① 若數(shù)列是常數(shù)列,則;
② 若數(shù)列是公差的等差數(shù)列,則;
③ 若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則:
④ 若存在正整數(shù),對任意,都有,則,是數(shù)列的最大項(xiàng).
其中正確結(jié)論的序號是____(寫出所有正確結(jié)論的序號).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著節(jié)能減排意識深入人心以及共享單車在饒城的大范圍推廣,越來越多的市民在出行時(shí)喜歡選擇騎行共享單車。為了研究廣大市民在共享單車上的使用情況,某公司在我市隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周使用次數(shù) | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合計(jì) | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
(1)如果認(rèn)為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎行共享單車”,請完成列表(見答題卡),并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車”與性別有關(guān)?
(2)每周騎行共享單車6次及6次以上的用戶稱為“騎行達(dá)人”,視頻率為概率,在我市所有“騎行達(dá)人”中,隨機(jī)抽取4名用戶.
① 求抽取的4名用戶中,既有男生“騎行達(dá)人”又有女“騎行達(dá)人”的概率;
②為了鼓勵(lì)女性用戶使用共享單車,對抽出的女“騎行達(dá)人”每人獎(jiǎng)勵(lì)500元,記獎(jiǎng)勵(lì)總金額為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在棱長為1的正方體中,E,F(xiàn)分別為線段CD和上的動(dòng)點(diǎn),且滿足,則四邊形所圍成的圖形(如圖所示陰影部分)分別在該正方體有公共頂點(diǎn)的三個(gè)面上的正投影的面積之和( 。
A. 有最小值B. 有最大值C. 為定值3D. 為定值2
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