Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

+2（m為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，+∞）上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[

1

2

，1]有解，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意，任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，然后作差即可判斷出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）不等式f（x）≤kx在x∈[

1

2

，1]有解可轉(zhuǎn)化為x∈[

1

2

 ， 1]時(shí)，k≥

m

x2

+

2

x

+1有解，由此得k≥(

m

x2

+

2

x

+1)min，故問題轉(zhuǎn)化為求(

m

x2

+

2

x

+1)min．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=x2+

m

x2

+2-(x1+

m

x1

+2)=(x2-x1)•

x1x2-m

x1x2

＞0，…（2分）
因?yàn)閤₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以x₁x₂-m＞0，即m＜x₁x₂，…（4分）
由x₂＞x₁≥2，得x₁x₂＞4，所以m≤4．所以，m的取值范圍是（-∞，4]．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）≤kx，得x+

m

x

+2≤kx，
因?yàn)?span id="vv2xqyv" class="MathJye">x∈[

1

2

 ， 1]，所以k≥

m

x2

+

2

x

+1，…（7分）
令t=

1

x

，則t∈[1，2]，所以k≥mt²+2t+1，令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
于是，要使原不等式在x∈[

1

2

 ， 1]有解，當(dāng)且僅當(dāng)k≥g（t）_min（t∈[1，2]）． …（9分）
因?yàn)閙＜0，所以g(t)=m(t+

1

m

)2+1-

1

m

圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線t=-

1

m

＞0，
因?yàn)閠∈[1，2]，故當(dāng)0＜-

1

m

≤

3

2

，即m≤-

2

3

時(shí)，g（t）_min=g（2）=4m+5；
當(dāng)-

1

m

＞

3

2

，即-

2

3

＜m＜0時(shí)，g（t）_min=g（1）=m+3．           …（13分）
綜上，當(dāng)m≤-

2

3

時(shí)，k∈[4m+5，+∞）；
當(dāng)-

2

3

＜m＜0時(shí)，k∈[m+3，+∞）．     …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，考查了轉(zhuǎn)化思想，分類討論的思想