Question

18．已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3|$\overrightarrow b$|，則cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$＞=（　�。�

• A． $-\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|，且|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow$|，再根據(jù)cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$，計(jì)算求的結(jié)果．

解答 解：非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∵|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3|$\overrightarrow b$|，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=9${\overrightarrow}^{2}$，即${\overrightarrow{a}}^{2}$=8${\overrightarrow}^{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|．
∴|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow$|，
則cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{-\overrightarrow{a}}^{2}}{2\sqrt{2}•|\overrightarrow|•3|\overrightarrow|}$
=$\frac{-{8\overrightarrow}^{2}}{6\sqrt{2}{•|\overrightarrow|}^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的夾角公式，考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)：斜率的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．