【題目】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，如圖．

（1）求證：平面AB1D1∥平面C1BD；

（2）試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F(xiàn)，并證明：A1E＝EF＝FC.

【答案】略

【解析】證明：（1）因為在正方體ABCD－A1B1C1D1中，ADB1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D.又因為C1D平面C1BD，AB1平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因為AB1∩B1D1＝B1，AB1平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.

（2）如圖，設A1C1與B1D1交于點O1，連接AO1，與A1C交于點E.

因為AO1平面AB1D1，

所以點E也在平面AB1D1內，所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點．

連接AC交BD于O，連接C1O與A1C交于點F，則點F就是A1C與平面C1BD的交點．

下面證明A1E＝EF＝FC.

因為平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.

在△A1C1F中，O1是A1C1的中點，所以E是A1F的中點，

即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.

練習冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f（x）= +alnx﹣2，曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+3垂直．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）記g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R），若函數(shù)g（x）在區(qū)間[e﹣1 ， e]上有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若不等式πf（x）＞（ ）1+x﹣lnx在|t|≤2時恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

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【題目】下列命題中正確的個數(shù)是( )

①若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內，則l∥α；

②若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都平行；

③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；

④若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都沒有公共點.

A.0 B.1

C.2 D.3

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(1)該公司這種產品的年產量為百件,生產并銷售這種產品所得到的利潤為當年產量的函數(shù),求;

(2)當年產量是多少時,工廠所得利潤最大?

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【題目】環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質量，每天都要記錄空氣質量指數(shù)（指數(shù)采取10分制，保留一位小數(shù)）．現(xiàn)隨機抽取20天的指數(shù)（見下表），將指數(shù)不低于8.5視為當天空氣質量優(yōu)良．

天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

空氣質量指數(shù)

7.1

8.3

7.3

9.5

8.6

7.7

8.7

8.8

8.7

9.1

天數(shù)

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

空氣質量指數(shù)

7.4

8.5

9.7

8.4

9.6

7.6

9.4

8.9

8.3

9.3

（Ⅰ）求從這20天隨機抽取3天，至少有2天空氣質量為優(yōu)良的概率；
（Ⅱ）以這20天的數(shù)據估計我市總體空氣質量（天數(shù)很多）．若從我市總體空氣質量指數(shù)中隨機抽取3天的指數(shù)，用X表示抽到空氣質量為優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．

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（1）分別寫出兩類產品的收益與投資額的函數(shù)關系；

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（2）若該技術難題末被攻克，上級不做任何獎勵；若該技術難題被攻克，上級會獎勵a萬元．獎勵規(guī)則如下：若只有1人攻克，則此人獲得全部獎金a萬元；若只有2人攻克，則獎金獎給此二人，每人各得 萬元；若三人均攻克，則獎金獎給此三人，每人各得 萬元．設甲得到的獎金數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．

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