Question

某中學(xué)將100名髙一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”，每班50人．陳老師采用A、B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改實(shí)驗(yàn)．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師對(duì)甲、乙兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，畫出頻率分布直方圖（如圖）．記成績(jī)不低于90分者為“成績(jī)優(yōu)秀”．

（Ⅰ）從乙班隨機(jī)抽取2名學(xué)生的成績(jī)，記“成績(jī)優(yōu)秀”的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為：“成績(jī)優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	總計(jì)
成績(jī)優(yōu)秀
成績(jī)不優(yōu)秀
總計(jì)

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（此公式也可寫成x²=

n(n11n22-n12n21)2

n1+n2+n+1n+2

）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)頻率分步直方圖可得成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)是4，得到變量的可能取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和古典概型概率公式寫出變量的概率，寫出分布列和期望．
（Ⅱ）根據(jù)頻率分步直方圖所給的數(shù)據(jù)，寫出列聯(lián)表，填入列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，利用求觀測(cè)值的公式，代入列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到觀測(cè)值，同臨界值進(jìn)行比較，得到結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)頻率分步直方圖可得成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)是4，
ξ的可能取值是0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 46

C 2 50

=

207

245

，
P（ξ=1）=

C 1 46 C 1 4

C 2 50

=

184

1225

，
P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 50

=

6

1225

∴ξ的分布列是

∴Eξ=0×

207

245

+1×

184

1225

+2×

6

1225

=

4

25

（Ⅱ）由頻率分步直方圖知，甲班成績(jī)優(yōu)秀和成績(jī)不優(yōu)秀的人數(shù)是12，38，
乙班成績(jī)優(yōu)秀和成績(jī)不優(yōu)秀的人數(shù)是4，46

根據(jù)列聯(lián)表可知K2=

100(12×46-4×38)2

16×84×50×50

=4.762，
由于4.762＞3.841，
∴有95%的把握說成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分步直方圖，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望．本題是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題目．