4.某地區(qū)對高一年級學(xué)生的瞬時記憶能力進行調(diào)查,瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力.現(xiàn)隨機抽取某學(xué)校高一學(xué)生共40人,下表為該批學(xué)生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果.例如表中聽覺記憶能力為中等,且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人.
視覺
聽覺
視覺記憶能力
偏低中等偏高超常
聽覺
記憶
能力
偏低0751
中等183b
偏高2a01
超常0211
由于部分數(shù)據(jù)丟失,只知道從這40位學(xué)生中隨機抽取一個,視覺記憶能力恰為中等,且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為$\frac{2}{5}$.
(1)試確定a、b的值;
(2)將抽取所得學(xué)生的頻率視為概率,從該地區(qū)高二年級學(xué)生中任意抽取3人,設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ及方差Dξ.

分析 (1)由表格數(shù)據(jù)可知,視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有(10+a)人,記“視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等閾 中等以上”為事件A,由等可能事件概率計算公式能求出a=6,從而得到b=2.
(2)由于從40位學(xué)生中任取3位,其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共有24人,故概率為$\frac{3}{5}$,從而ξ~B(3,$\frac{3}{5}$),由此能求出結(jié)果.

解答 解:(1)由表格數(shù)據(jù)可知,視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有(10+a)人,
記“視覺記憶能力恰為中等且聽覺記憶能力為中等閾 中等以上”為事件A,
則P(A)=$\frac{10+a}{40}=\frac{2}{5}$,解得a=6,
∴b=40-(32+a)=40-38=2.
∴a=6,b=2.
(2)由于從40位學(xué)生中任取3位,其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共有24人,
故概率為$\frac{3}{5}$,
∴從該地區(qū)高二年級學(xué)生中任意抽取3人,
其中恰有k位學(xué)生具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率P(ξ=k)=${C}_{3}^{k}(\frac{3}{5})^{k}(\frac{2}{5})^{3-k}$,(k=0,1,2,3),
ξ的可能取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)=($\frac{2}{5}$)3=$\frac{8}{125}$,
P(ξ=1)=${C}_{3}^{1}(\frac{3}{5})(\frac{2}{5})^{2}=\frac{36}{125}$,
P(ξ=2)=${C}_{3}^{2}(\frac{3}{5})^{2}(\frac{2}{5})=\frac{54}{125}$,
P(ξ=3)=($\frac{3}{5}$)3=$\frac{27}{125}$,
∴ξ的分布列為:

 ξ 0 1 2 3
 P $\frac{8}{125}$ $\frac{36}{125}$ $\frac{54}{125}$ $\frac{27}{125}$
∵ξ~B(3,$\frac{3}{5}$),∴Eξ=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$,Dξ=3×$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{18}{25}$.

點評 本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意二項分布的性質(zhì)的合理運用.

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B.向左平移$\frac{π}{3}$個單位,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍
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D.向左平移$\frac{π}{6}$個單位,再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍

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