Question

【題目】設(shè)是在點(diǎn)處的切線．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）設(shè)，其中．若對(duì)恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)值得切線斜率，進(jìn)而得切線方程，即可求函數(shù)f（x）的解析式；

（Ⅱ）令，求導(dǎo)證得；

（Ⅲ），① 當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得 ，可得，進(jìn)而得在區(qū)間上單調(diào)遞增， 恒成立，② 當(dāng)時(shí)，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，存在，使得， ，此時(shí)不會(huì)恒成立，進(jìn)而得的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)，則，所以．

所以．

（Ⅱ）令．

滿足，且．

當(dāng)時(shí)， ，故單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，故單調(diào)遞增．

所以， ）．

所以．

（Ⅱ）的定義域是，且．

① 當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得 ，

所以 ．

所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以 恒成立，符合題意．

② 當(dāng)時(shí)，由，

且的導(dǎo)數(shù)，

所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增．

因?yàn)?， ，

于是存在，使得．

所以 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以 ，此時(shí)不會(huì)恒成立，不符合題意．

綜上， 的取值范圍是．