已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)如果x∈R+,f(x)<0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.
(1)證明漸近線(2)f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.
(1)證明∵函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
∵f(x+y)-f(x)+f(y),令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),
∴f(x)為奇函數(shù).
(2)解 方法一 設(shè)x,y∈R+,∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(x+y)-f(x)=f(y).∵x∈R+,f(x)<0,
∴f(x+y)-f(x)<0,∴f(x+y)<f(x).
∵x+y>x,∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).又∵f(x)為奇函數(shù),f(0)=0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù).∴f(-2)為最大值,f(6)為最小值.
∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.
∴所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.
方法二 設(shè)x1<x2,且x1,x2∈R.
則f(x2-x1)=f[x2+(-x1)]=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0.∴f(x2)-f(x1)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.
∴f(-2)為最大值,f(6)為最小值.∵f(1)=-,
∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.
∴所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.
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設(shè)函數(shù)上滿足, 且在閉區(qū)間[0, 7]上只有.
⑴試判斷函數(shù)的奇偶性;
⑵試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù), 并證明你的結(jié)論.

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已知定義在上的奇函數(shù)滿足,則      

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(1)求常數(shù)的值;
(2)若,,求的取值范圍;
(3)若,且函數(shù)上的最小值為,求的值

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.已知函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R.
(1)試判斷f(x)的奇偶性;
(2)若-≤a≤,求f(x)的最小值.

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已知,
⑴判斷的奇偶性;  ⑵證明

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函數(shù)f(x)=的圖象(    )
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C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線x=1對(duì)稱

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滿足,且的函數(shù)可能為(  )
A  cos2x       B  sin      C         D  cosx

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是奇函數(shù),則           .   

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