如圖,已知過點A(0,1)的直線l與拋物線C:y=x2交于M,N兩點,又拋物線C在M,N兩點處的兩切線交于點B,M,N兩點的橫坐標分別為x1,x2
(1)求x1x2的值;
(2)求B點的縱坐標t的值.
分析:(1)設直線l的方程為y=kx+1,代入y=x2,利用韋達定理可求x1x2的值;
(2)確定切線方程,求得交點坐標,利用(1)的結論,即可求B點的縱坐標t的值.
解答:解:(1)設直線l的方程為y=kx+1,代入y=x2,可得x2-kx-1=0
∵M,N兩點的橫坐標分別為x1,x2,
∴x1x2=-1;
(2)由y=x2,得y′=2x,
∴拋物線y=x2在點M(x1,y1)、N(x2,y2)處的切線的斜率分別為2x1,2x2
∴拋物線C在M,N兩點處的兩切線方程分別為y-y1=2x1(x-x1),y-y2=2x2(x-x2),
即為y=2x1x-x12,y=2x2x-x22,
∴x2y=2x1x2x-x2x12,x1y=2x1x2x-x1x22,
∵x1x2=-1
∴兩式相減,可得B點的縱坐標t=-1.
點評:本題考查直線與拋物線的位置關系,考查拋物線的切線方程,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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       (Ⅱ)若離心率為的橢圓(a>b>0)恰好經過點A,設直線l交橢圓的另一點為B,記直線l,OA,OB的斜率分別為k,k1,k2,若k1+2k2=4k,求橢圓方程.

 

 

 

 

 

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