Question

15．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當(dāng)x∈（-1，9）時，f（x）=x²-2^x，則函數(shù)f（x）在[0，2016]上的零點個數(shù)是605．

Answer 1

分析 由f（x）+f（x+5）=16，可得f（x+5）+f（x+10）=16，兩式相減，可得f（x）為周期為10的函數(shù)，作圖分析可知，當(dāng)x∈（-1，9）時，f（x）=x²-2^x有三個零點，從而可得答案．

解答 解：∵f（x）+f（x+5）=16，
f（x+5）+f（x+10）=16，
兩式相減得，f（x）=f（x+10），
故f（x）為周期為10的函數(shù)，x∈（-1，9）時，
令f（x）=x²-2^x=0得：x²=2^x，
在同一坐標(biāo)系中作出y=x²與y=2^x的圖象如下，

由圖知，當(dāng)x∈（-1，4]時，函數(shù)f（x）=x²-2^x有3個零點（y軸右側(cè)的兩個零點為2和4），
∵f’（x）=2x-2^xln2，∴當(dāng)x∈（4，9）時，f’（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減，即無零點，
綜上：函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)有三個零點，
2016=201×10+6，
就是說在區(qū)間在[0，2016]上有201個完整周期，這201個周期內(nèi)共603個零點，在[0，6]內(nèi)有二個零點，
∴函數(shù)f（x）在[0，2016]上共有605個零點，
故答案為：605．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，求得函數(shù)的周期為10，且一個周期內(nèi)函數(shù)f（x）有三個零點是關(guān)鍵，也是難點，考查分析與作圖能力，屬于難題．