Question

已知曲線C1：y=x3，曲線C₂：y=x³-3x²+3x
（1）求C1：y=x3過點(diǎn)（1，1）的切線方程；
（2）曲線C₁經(jīng)過何種變化可得到曲線C₂？

Answer 1

分析：（1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用點(diǎn)斜式寫出切線方程，把點(diǎn)（1，1）代入切線方程求解切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后再把求得的切點(diǎn)橫坐標(biāo)代回切線方程即可；
（2）把曲線C₂：y=x³-3x²+3x變形為y=（x-1）³+1，則直觀看出該函數(shù)圖象是把曲線C1：y=x3經(jīng)過如何變化得到的．

解答：解：（1）設(shè)切點(diǎn)為P（x0，x03），則f′(x0)=3x02，
所以，過點(diǎn)P的切線方程為：y-x03=3x02(x-x0)，
因?yàn)榍芯�過點(diǎn)（1，1），所以有1-x03=3x02(1-x0)，
整理得：2x03-3x02+1=0，即2x03-2x02-x02+1=0，所以，2x02(x0-1)-(x0-1)(x0+1)=0，
也就是(x0-1)(2x02-x0-1)=0，解得：x₀=1或x0=-

1

2

．
所以，當(dāng)（1，1）為切點(diǎn)時，過點(diǎn)（1，1）的切線方程為：y-1=3（x-1），即y=3x-2．
當(dāng)（1，1）不是切點(diǎn)時，過點(diǎn)（1，1）的切線方程為：y-(-

1

2

)3=3×(-

1

2

)2×[x-(-

1

2

)]，即y=

3

4

x+

1

4

．
（2）由y=x³-3x²+3x=x³-3x²+3x-1+1=（x-1）³+1．
所以y=x³-3x²+3x是把y=x³向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到的．
即曲線C₁向右平移一個單位，再向上平移一個單位得到曲線C₂．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，解答該題時一定要區(qū)分是求的曲線在某點(diǎn)處的切線方程還是過某點(diǎn)的切線方程，若是求的曲線在某點(diǎn)處的切線方程，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線方程唯一，若求的是過某點(diǎn)的切線方程，則該點(diǎn)不見得是切點(diǎn)，需要設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)．此題是好題，也是易錯題，屬中檔題．