Question

12．在△ABC中，若b，a，c成等差數(shù)列，且sin²A=sinBsinC，則△ABC的形狀為（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等邊三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由三角形的三邊成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質得到b+c=2a，記作①，再由sinA，sinB及sinC成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質得到一個關系式，利用正弦定理化簡sin²A=sinBsinC得到關于a，b及c的關系式，記作②，聯(lián)立①②消去a得到關于b與c的關系式，變形可得出b=c，從而得到a，b及c都相等，故三角形為等邊三角形．

解答 解：∵△ABC的三邊b，a，c成等差數(shù)列，
∴b+c=2a①，
又sin²A=sinBsinC，
根據(jù)正弦定理化簡得：a²=bc②，
由①得：a=$\frac{b+c}{2}$，代入②得：
$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=bc，即（b-c）²=0，
∴b=c，故a=b=c，
則三角形為等邊三角形．
故選：C．

點評 此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有等差數(shù)列的性質，等比數(shù)列的性質，正弦定理以及等邊三角形的判定，靈活運用等差及等比數(shù)列的性質及正弦定理得出關于三角形三邊的兩關系式是解本題的關鍵．