Question

例2：已知f（x）=ax²+bx+c的圖象過點(diǎn)（-1，0），是否存在常數(shù)a、b、c，使不等式x≤f（x）≤對一切實數(shù)x都成立？

Answer 1

【答案】分析：通過圖象過一點(diǎn)得到a、b、c一關(guān)系式，觀察發(fā)現(xiàn)1≤f（1）≤1，又可的一關(guān)系式，再將b、c都有a表示．不等式x≤f（x）≤對一切實數(shù)x都成立可轉(zhuǎn)化成兩個一元二次不等式恒成立，即可解得．
解答：解：∵f（x）的圖象過點(diǎn)（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤對一切x∈R均成立，
∴當(dāng)x=1時也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=，c=-a．
∴f（x）=ax²+x+-a．
故x≤ax²+x+-a≤對一切x∈R成立，
也即恒成立
解得a=．∴c=-a=．
∴存在一組常數(shù)a=，b=，c=，使不等式x≤f（x）≤對一切實數(shù)x均成立．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，以及不等式的證明，賦值法（特殊值法）可以使“探索性”問題變得比較明朗，它是解決這類問題比較常用的方法．