甲和乙參加智力答題活動,活動規(guī)則:①答題過程中,若答對則繼續(xù)答題;若答錯則停止答題;②每人最多答3個題;③答對第一題得10分,第二題得20分,第三題得30分,答錯得0分.已知甲答對每個題的概率為
3
4
,乙答對每個題的概率為
1
3

(Ⅰ)求甲恰好得30分的概率;
(Ⅱ)設(shè)乙的得分為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)求甲恰好比乙多30分的概率.
分析:(1)要求甲恰好得30分的概率,我們分析活動規(guī)則后可得,甲恰好得30分,說明甲前兩題都答對,而第三題答錯,代入分步事件概率公式即可得到答案.
(2)設(shè)乙的得分為ξ,則ξ的取值為0,10,30,60,我們根據(jù)活動規(guī)則,分析出ξ取不同值時的情況,代入概率公式即可求解.(3)要求甲恰好比乙多30分的概率,我們要先分析甲恰好比乙多30分的發(fā)生情況,由(2)的結(jié)論,共有兩種情況,即甲恰好得30分且乙恰好得0分,或是甲恰好得60分且乙恰好得30分,代入概率公式即可求解.
解答:解:(I)甲恰好得30分,說明甲前兩題都答對,而第三題答錯,
其概率為(
3
4
)2(1-
3
4
)=
9
64

(II)ξ的取值為0,10,30,60
P(ξ=0)=1-
1
3
=
2
3
,
P(ξ=10)=(1-
1
3
)•(
1
3
)=
2
9
,
P(ξ=30)=
1
3
1
3
•(1-
1
3
)=
2
27
,
P(ξ=60)=(
1
3
)3=
1
27

ξ的概率分布如下表:
精英家教網(wǎng)E(ξ)=0×
2
3
+10×
2
9
+30×
2
27
+60×
1
27
=
20
3

(III)設(shè)甲恰好比乙多30分為事件A,
甲恰好得30分且乙恰好得0分為事件B1,
甲恰好得60分且乙恰好得30分為事件B2
則A=B1∪B2,B1,B2為互斥事件.
P(A)=P(B1)+P(B2)=(
3
4
)2
1
4
2
3
+(
3
4
)3
2
27
=
1
8

所以,甲恰好比乙多30分的概率為
1
8
點評:本小題主要考查相互獨立事件概率的計算,運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,要想計算一個事件的概率,首先我們要分析這個事件是分類的(分幾類)還是分步的(分幾步),然后再利用加法原理和乘法原理進行求解.
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(1)求甲恰好得30分的概率;

(2)設(shè)乙的得分為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(3)求甲恰好比乙多30分的概率.

 

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 。1)求甲恰好得30分的概率;

  (2)設(shè)乙的得分為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

  (3)求甲恰好比乙多30分的概率.

 

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  (1)求甲恰好得30分的概率;
  (2)設(shè)乙的得分為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
 。3)求甲恰好比乙多30分的概率.

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(I)求甲恰好得30分的概率;
(II)設(shè)乙的得分為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)求甲恰好比乙多30分的概率.

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