Question

如圖，平行四邊形ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，H，M是AD，DC的中點(diǎn)，BF=

1

3

BC，
（1）以

a

，

b

為基底表示向量

AM

與

HF

；
（2）若|

a

|=3，|

b

|=4，

a

與

b

的夾角為120°，求

AM

•

HF

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量的基本定理及其意義

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件，運(yùn)用向量的加法和減法遵循的三角形法則，以及向量的中點(diǎn)表示，即可得到；
（2）先求出向量的數(shù)量積

a

•

b

，再由（1）得到的結(jié)論，化簡(jiǎn)即可得到所求向量的數(shù)量積．

解答： 解：（1）∵平行四邊形ABCD中，

AB

=

a

，

AD

=

b

，H，M是AD，DC的中點(diǎn)，BF=

1

3

BC，
∴

AM

=

AD

+

DM

=

AD

+

1

2

DC

=

AD

+

1

2

AB

=

b

+

1

2

a

，

HF

=

AF

-

AH

=

AB

+

BF

-

1

2

AD

=

a

+

1

3

b

-

1

2

b

=

a

-

1

6

b

；
（2）∵|

a

|=3，|

b

|=4，

a

與

b

的夾角為120°，
∴

a

•

b

=3×4×cos120°=-6，
∴

AM

•

HF

=（

b

+

1

2

a

）•（

a

-

1

6

b

）=

1

2

a

2-

1

6

b

2+

11

12

a

•

b

=

1

2

×9-

1

6

×16+

11

12

×(-6)=-

11

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算：加減、數(shù)乘及數(shù)量積，考查基本的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．