設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．
（1） （2）11

試題分析：
（1）根據(jù)題意求出的坐標(biāo)與A點(diǎn)的坐標(biāo)，帶入式子，即可求出a的值，進(jìn)而得到橢圓M的方程.
（2）設(shè)圓的圓心為，則可以轉(zhuǎn)化所求內(nèi)積，
，故求求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．N點(diǎn)為定點(diǎn)且坐標(biāo)已知，故設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)且滿足橢圓方程，帶入坐標(biāo)公式利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出NP的最值，此外還可以利用參數(shù)方程來求解NP的最值.
試題解析：
（1）由題設(shè)知，，，  1分
由，得．  2分
解得．                                    3分
所以橢圓的方程為．            4分
（2）方法1：設(shè)圓的圓心為，
則  5分
 6分
． 7分
從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．  8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035510594289.png" style="vertical-align:middle;" />是橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，  9分
所以，即．    10分
因?yàn)辄c(diǎn)，所以．     11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035511249727.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值12．     13分
所以的最大值為11．                    14分
方法2：設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035511327426.png" style="vertical-align:middle;" />的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以          5分
所以          6分
 
．        8分
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即．  9分
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．      10分
所以．         12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035511623673.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，．      14分
方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，     5分
由，解得．            6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035510594289.png" style="vertical-align:middle;" />是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即 7分
所以，    8分
所以． 9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035511249727.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值11．   11分
②若直線的斜率不存在，此時(shí)的方程為，
由，解得或．不妨設(shè)，，．  12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035510594289.png" style="vertical-align:middle;" />是橢圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即．
所以，．
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035511249727.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值11．    13分
綜上可知，的最大值為11．                14分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,直線：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線上；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且拋物線的焦點(diǎn)滿足，若邊上的中線所在直線的方程為（為常數(shù)且）．
（1）求的值；
（2）為拋物線的頂點(diǎn)，，，的面積分別記為，，，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓與的離心率相等. 直線與曲線交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與曲線交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)）,為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
（1）當(dāng)=，時(shí)，求橢圓的方程；
（2）若，且和相似，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C的方程；
(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明＋為定值，并求出這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點(diǎn)P(0，－1)是橢圓C1：＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.

(1)求橢圓C1的方程；
(2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過雙曲線左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)落在軸上，則此雙曲線的離心率為（  ）
A．B．C．D．

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