已知函數(shù)f(x)=x3+px2+qx的圖象與x軸切于非原點(diǎn)的一點(diǎn),且f(x)的一個(gè)極值為-4
(1)求p、q的值,并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=t有3個(gè)不同的實(shí)根,求t的取值范圍;
(3)令g(x)=f′(ex)+x-(t+12)ex,是否存在實(shí)數(shù)M,使得t≤M時(shí)g(x)是單調(diào)遞增函數(shù).若存在,求出M的最大值,若不存在,說明理由.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)公式求函數(shù)導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,畫圖,根據(jù)圖表判斷函數(shù)的單調(diào)性.
(2)根據(jù)函數(shù)有3個(gè)不同的實(shí)根,判斷函數(shù)極值的正負(fù),函數(shù)的圖象應(yīng)與x軸有三個(gè)交點(diǎn),所以根據(jù)函數(shù)圖象的大致走向判斷極值,判斷t的取值范圍..
(3)先求出導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用恒成立問題求最值,用到均值不等式.
解答:解:(1)設(shè)切點(diǎn)(a,0)(a≠0),f(x)=x(x2+px+q)
由題意得:方程x2+px+q=0有兩個(gè)相等實(shí)根a
故可得f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x(2分)f'(x)=3x2-4ax+a2=(x-a)(3x-a)
∵f'(a)=0≠-4,∴f(
a
3
)=-4
(3分)
于是
a
3
•(
a
3
-a)2=-4
,∴a=-3
∴f(x)=x3+6x2+9x∴p=6,q=9(4分)f'(x)=(x+3)(3x+3)
x (-∞,-3) -3 (-3,-1) 1 (-1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 極大 極小
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是:(-∞,-3),(-1,+∞)
單調(diào)遞減區(qū)間是:(-3,-1)(6分)
(2)由(1)知f(x)在x=-3處取得極大值f(-3)=0,在x=-1處取得極小值f(-1)=-4
作f(x)的大致形狀及走向如圖所示:易知當(dāng)t∈(-4,0)時(shí),f(x)=t有3個(gè)不同的實(shí)根.(9分)
(3)g(x)=f'(ex)+x-(t+12)ex=3e2x+12ex+9+x-(t+12)ex=3e2x-tex+x+9g'(x)=6e2x-tex+1(11分)
若g(x)在R上遞增,即g'(x)≥0,當(dāng)x∈R恒成立(12分)
t≤6ex+
1
ex
(當(dāng)x∈R時(shí)恒成立)(13分)
由于6ex+
1
ex
≥2
6
,當(dāng)且僅當(dāng)6ex=
1
ex
,即x=ln
1
6
時(shí)取到
t≤2
6
(14分)
∴M最大值為2
6
(15分)
點(diǎn)評(píng):該題考查函數(shù)的求導(dǎo),考查利用恒成立問題求最值,屬簡(jiǎn)單題.注意解答過程中要有圖表,根據(jù)圖表判斷函數(shù)的單調(diào)性
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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