Question

（本題共12分）

已知函數(shù)，其中且。

(Ⅰ)討論的單調性；

(Ⅱ)求函數(shù)在〔，〕上的最小值和最大值。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；

(Ⅱ) 當時，在上的最小值為，最大值為；

當時，在上的最小值為，最大值為

【解析】本試題主要考查了導數(shù)研究函數(shù)的最值問題的運用。

（1）因為函數(shù)，其中且，求解導數(shù)得到，然后對于參數(shù)a的范圍結合對數(shù)值來分類討論得到結論。

（2）在第一問的基礎上，在單調遞減，在在單調遞增

當時，取得最小值

，進而作差比較大小，得到關于a的函數(shù)，結合導數(shù)求解得到。

解：(Ⅰ) ，∴ 。

① 當時，，由可得；由可得

在上單調遞減，在上單調遞增。

②當時，，由可得；由可得

在上單調遞減，在上單調遞增。

綜上可得，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增�！�……4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在單調遞減，在在單調遞增

當時，取得最小值

……………………………………………………6分

 ，

設 ，則 。

∵（當且僅當時）∴在上單調遞增．

又∵，

∴①當時，，即，

這時，在上的最大值為；

②當時，，即

這時，在上的最大值為。

綜上，當時，在上的最小值為，最大值為；

當時，在上的最小值為，最大值為…………12分