【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程，并討論兩曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若，求由兩曲線與交點(diǎn)圍成的四邊形面積的最大值.

【答案】（1）當(dāng)或時(shí)，兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，兩曲線有四個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，兩曲線無公共點(diǎn).

（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用消去參數(shù)，求得橢圓的普通方程為，將圓的極坐標(biāo)方程兩邊平方，可求得圓的直角坐標(biāo)方程為.故當(dāng)或時(shí)，兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩曲線有四個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，兩曲線無公共點(diǎn).（2）根據(jù)橢圓和圓的對(duì)稱性可知，四邊形也關(guān)系軸和原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)四邊形第一象限的點(diǎn)為，利用面積公式可求得最大面積為.

試題解析：

（1）， .

當(dāng)或時(shí)，兩曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，兩曲線有四個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，兩曲線無公共點(diǎn).

（2）由于曲線與曲線關(guān)于軸、軸以及原點(diǎn)對(duì)稱，

所以四邊形也關(guān)于軸、軸以及原點(diǎn)對(duì)稱.

設(shè)四邊形位于第一象限的點(diǎn)為，

則四邊形的面積為

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.

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