【題目】設(shè), .
(1)若,證明: 時, 成立;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
【答案】(1)見解析;(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)證明不等式問題,一般轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)最值問題:即的最大值小于零,利用導數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性,再得最大值,最后證明最大值小于零.(2)先求函數(shù)導數(shù),根據(jù)導函數(shù)在定義域上解的情況分類討論,一般分為一次與二次,根有與無,兩根大與小,最后進行小結(jié).
試題解析:
(1)當時, ,要證時成立,由于,
只需證在時恒成立,
令,則,
設(shè), , ,
在上單調(diào)遞增, ,即,
在上單調(diào)遞增, ,
當時, 恒成立,即原命題得證.
(2)的定義域為, ,
①當時, 解得或; 解得,
所以函數(shù)在, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
②當時, 對恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;
③當時, 解得或; 解得,
所以函數(shù)在, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
④當時, , 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
⑤當, , 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上, , 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
, 在, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
, 在上單調(diào)遞增;
, 在, 上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若曲線僅在兩個不同的點,處的切線都經(jīng)過點,求證:,或;
(2)當時,若恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽:第一局由甲、乙參加而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與
輪空者進行比賽,而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負的概率均為,且各局勝負相互獨立,求:
(1)打滿3局比賽還未停止的概率;
(2)比賽停止時已打局數(shù)ξ的分布列與期望E(ξ).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班為了提高學生學習英語的興趣,在班內(nèi)舉行英語寫、說、唱綜合能力比賽,比賽分為預(yù)賽和決賽2個階段,預(yù)賽為筆試,決賽為說英語、唱英語歌曲,將所有參加筆試的同學(成績得分為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖,其中后三個矩形高度之比依次為4:2:1,落在的人數(shù)為12人.
(Ⅰ)求此班級人數(shù);
(Ⅱ)按規(guī)定預(yù)賽成績不低于90分的選手參加決賽,已知甲乙兩位選手已經(jīng)取得決賽資格,參加決賽的選手按抽簽方式?jīng)Q定出場順序.
(i)甲不排在第一位乙不排在最后一位的概率;
(ii)記甲乙二人排在前三位的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某品牌手機銷售商今年1,2,3月份的銷售量分別是1萬部,1.2萬部,1.3萬部,為估計以后每個月的銷售量,以這三個月的銷售為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該品牌手機的銷售量y(單位:萬部)與月份x之間的關(guān)系,現(xiàn)從二次函數(shù) 或函數(shù) 中選用一個效果好的函數(shù)行模擬,如果4月份的銷售量為1.37萬件,則5月份的銷售量為__________萬件.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-bx+3.
(1)若f(0)=f(4),求函數(shù)f(x)的零點;
(2)若函數(shù)f(x)一個零點大于1,另一個零點小于1,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知以點C為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,4),且圓心在直線x+3y-15=0上.設(shè)點P在圓C上,求△PAB的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:與軸的正半軸相交于點,點為橢圓的焦點,且是邊長為2的等邊三角形,若直線與橢圓交于不同的兩點.
(1)直線的斜率之積是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由;
(2)求的面積的最大值.
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