Question

已知函數（a∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），．…（2分）
（Ⅰ） 當a=1時，，f'（1）=-2+1+1=0，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））的切線方程為．…（5分）
（Ⅱ），…（6分）
（1）當a=0時，f'（x）=x＞0，f（x）在定義域為（0，+∞）上單調遞增，…（7分）
（2）當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-2a（舍去），x₂=a，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

此時，f（x）在區(qū)間（0，a）單調遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調遞增； …（10分）
（3）當a＜0時，令f'（x）=0，得x₁=-2a，x₂=a（舍去），
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

此時，f（x）在區(qū)間（0，-2a）單調遞減，在區(qū)間（-2a，+∞）上單調遞增．…（13分）
分析：可得函數的定義域和導函數，（Ⅰ）代入a=1可得f（1），和f'（1），進而可得切線方程；（Ⅱ）可得導函數為，分a=0和a＞0即a＜0三類分別求得導數的正負情況，進而可得單調性．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，涉及切線方程的求解，屬中檔題．