Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為

1

2

的等比數(shù)列，S_n為它的前n項(xiàng)和．
（1）用S_n表示S_n+1；
（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得

Sk+1-c

Sk-c

＞2成立．

Answer 1

分析：（1）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分別表示出s_n與s_n+1，對(duì)比找出其關(guān)系即可；
（2）假設(shè)存在自然數(shù)c和k，利用（1）的結(jié)論及s_k的范圍，推出c的可能取值，然后逐一驗(yàn)證即可．

解答：解（1）由Sn=4(1-

1

2n

)，得Sn+1=4(1-

1

2n+1

)=

1

2

Sn+2(n∈N)．
（2）要使

Sk+1-c

Sk-c

＞2，只要

c-( 3 2 Sk-2)

c-Sk

＜0．
因?yàn)?span id="qcqeumw" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Sk=4(1-

1

2k

)＜4，所以Sk-(

3

2

Sk-2)=2-

1

2

Sk＞0(k∈N)，
故只要

3

2

Sk-2＜c＜Sk(k∈N)．①
因?yàn)镾_k+1＞S_k（k∈N），所以

3

2

Sk-2≥

3

2

S1-2=1，
又S_k＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾₁=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c＜S_k不成立，從而①不成立．
因?yàn)?span id="eqiascq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

3

2

S2-2=

5

2

＞c，由S_k＜S_k+1（k∈N），得

3

2

Sk-2＜

3

2

Sk+1-2，所以當(dāng)k≥2時(shí)，

3

2

Sk-2＞c，從而①不成立．
當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾₁=2，S₂=3，
所以當(dāng)k=1，2時(shí)，c＜S_k不成立，從而①不成立．
因?yàn)?span id="eoaq0yo" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

3

2

S3-2=

13

4

＞c，又

3

2

Sk-2＜

3

2

Sk+1-2，
所以當(dāng)k≥3時(shí)，

3

2

Sk-2＞c，從而①不成立．
故不存在自然數(shù)c、k，使

Sk+1-c

Sk-c

＞2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及不等式的有關(guān)知識(shí)，利用了極限思想及分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性和邏輯推理性較強(qiáng)，難度較大．