Question

在二項(xiàng)式(

3	x2

+3x2)n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，試求
（1）n的值．
（2）求該二項(xiàng)式展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：（1）展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為4ⁿ，二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ則4ⁿ-2ⁿ=992，解出即可；
（2）方法一、設(shè)系數(shù)最大項(xiàng)為T_r+1，則T_r-1的系數(shù)為

C

r-1 5

3r-1，T_r+1的系數(shù)為

C

r 5

3r，T_r+2的系數(shù)為

C

r+1 5

3r+1，列出不等式，解出整數(shù)解即可；
方法二、運(yùn)用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式展開(kāi)，比較即得．

解答： 解：（1）展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為4ⁿ；二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ
∴4ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，
解得2ⁿ=32或-31（舍去），∴n=5．
（2）設(shè)系數(shù)最大項(xiàng)為T_r+1，則T_r-1的系數(shù)為

C

r-1 5

3r-1
T_r+1的系數(shù)為

C

r 5

3r，T_r+2的系數(shù)為

C

r+1 5

3r+1，
由

C

r-1 5

3r-1≤

C

r 5

3r≤

C

r+1 5

3r+1，解得

7

2

≤r≤

9

2

，
又∵r∈N⁺，∴r=4
∴系數(shù)最大項(xiàng)為T5=405x

26

3

．
方法二：∵(

3	x2

+3x2)5=x

10

3

+15x

14

3

+90x6+270x

22

3

+405x

26

3

+243x¹⁰
∴系數(shù)最大項(xiàng)為T5=405x

26

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，與各項(xiàng)的系數(shù)的關(guān)系，考查二項(xiàng)式展開(kāi)式中的最大項(xiàng)的求法，屬于中檔題．