Question

20．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^x（a≤2，x∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求出函數(shù)的極大值，進(jìn)行判斷．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x=[x²+（a+2）x+2a]e^x
（Ⅰ）若a=-1，則f′（x）=（x²+x-2）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
故f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）由f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x=0得x²+（a+2）x+2a=0，解得x=-2或x=-a，
當(dāng)a=2時，f′（x）=（x+2）²e^x＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故無極值，
當(dāng)a＜2時，x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增

則當(dāng)x=-2時，函數(shù)取得極大值f（-2），
由f（-2）=3得a=4-3e²．
故存在a=4-3e²．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)極值的求解，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究是解決本題的關(guān)鍵．