Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上，且橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，直線PA，QA分別交直線l：x=4于M，N兩點(diǎn)，求證：FM⊥FN．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）由（1）知，A（2，0），F(xiàn)（1，0），右準(zhǔn)線方程為x=4．設(shè)直線PQ的方程為：my=x-1．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（3m²+4）y²+6my-9=0．直線PA的方程為：y-0=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），可得M$（4，\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$．同理可得N$（4，\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及其一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，只要證明$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$=0即可．

解答 （1）解：由題意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b²=3，c=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）證明：由（1）知，A（2，0），F(xiàn)（1，0），右準(zhǔn)線方程為x=4．設(shè)直線PQ的方程為：my=x-1．P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3m²+4）y²+6my-9=0．
則y₁+y₂=$\frac{-6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
直線PA的方程為：y-0=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），令x=4，則y=$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，可得M$（4，\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$．
同理可得N$（4，\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$．
∴$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}$=9+$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$×$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=9+$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（m{y}_{1}-1）（m{y}_{2}-1）}$=9+$\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=9+$\frac{4×\frac{-9}{3{m}^{2}+4}}{\frac{-9{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+1}$=9-9=0，
∴$\overrightarrow{FM}$⊥$\overrightarrow{FN}$，即FM⊥FN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．