Question

已知△的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，且所在直線的斜率之積等于．

（Ⅰ）求頂點(diǎn)的軌跡的方程，并判斷軌跡為何種圓錐曲線；

（Ⅱ）當(dāng)時，過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱

點(diǎn)為(不重合) 試問：直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）當(dāng)時 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時  軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時   軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)；

（Ⅱ）直線過定點(diǎn).

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)，分類討論參數(shù)，軌跡為何種圓錐曲線；（Ⅱ）

一般思路是設(shè)點(diǎn)，構(gòu)造方程，組成方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，從而得到直線的方程，令求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（Ⅰ）由題知： 化簡得：，     2分

當(dāng)時 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時 軌跡表示以為圓心半徑是１的圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時  軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且除去兩點(diǎn)；

當(dāng)時   軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且除去兩點(diǎn)；  6分

（Ⅱ）設(shè) 

依題直線的斜率存在且不為零，則可設(shè):，

代入整理得

，，                            9分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092300194037981241/SYS201309230020530568747322_DA.files/image026.png">不重合，則

的方程為 令，

得

故直線過定點(diǎn).                                    13分

解二：設(shè)

依題直線的斜率存在且不為零，可設(shè):

代入整理得：

,，                            9分

的方程為   令，

得

直線過定點(diǎn)                                    13分

考點(diǎn)：圓、橢圓、雙曲線的定義、性質(zhì)，定點(diǎn)問題.