在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若
AO
=λ
AB
+μ
BC
，則λ+μ=
2
3
2
3
．
分析：因?yàn)锳B=2，BC=3，∠ABC=60°，所以
AB
•
BC
=
|AB|
•
|BC|
cos120°=-3，再根據(jù)O為AD的中點(diǎn)，且
AO
=λ
AB
+μ
BC
，可得
AD
=2λ
AB
+2μ
BC
，從而
AD
•
BC
=-6λ+18μ=0，得λ=3μ．接下來利用
BD
=
AD
-
AB
，結(jié)合
BD
與
BC
是共線向量，可算得λ=
1
2
，代入上式得μ=
1
6
，最終得到λ+μ的值為
2
3
．
解答：解：∵AB=2，BC=3，∠ABC=60°，
∴
AB
•
BC
=
|AB|
•
|BC|
cos120°=-3
∵O為AD的中點(diǎn)，
AO
=λ
AB
+μ
BC
，
∴
AD
=2
AO
=2λ
AB
+2μ
BC
，
可得
AD
•
BC
=（2λ
AB
+2μ
BC
）•
BC
=2λ
AB
•
BC
+2μ
BC
2=-6λ+18μ
∵AD為BC邊上的高，
AD
與
BC
互相垂直
∴
AD
•
BC
=0，即-6λ+18μ=0，得λ=3μ…①
又∵
AD
=2λ
AB
+2μ
BC
，
BD
=
AD
-
AB

∴
BD
=（2λ-1）
AB
+2μ
BC
，
而
BD
與
BC
是共線向量，可得2λ-1=0，所以λ=
1
2
，再代入①，得μ=
1
6

∴λ+μ的值為
2
3

故答案為
2
3
．
點(diǎn)評：本題給出一個特殊的三角形ABC，一條高線AD中點(diǎn)為O，要我們將向量
AO
表示為
AB
、
BC
的線性組合的形式，著重考查了平面向量平行與共線的充要條件及其表示式，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圓的面積．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，AB=a，AC=b，當(dāng)
a
•
b
＜0時，△ABC為
鈍角三角形
鈍角三角形
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，則△ABC的面積為
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圓的面積為
7π
3
7π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M為AB的中點(diǎn)，
BN
=
1
3
BC
，則
 
．

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同步練習(xí)冊答案