8.已知正n棱錐的體積V為定值,試確定其側(cè)面與底面所成的二面角的大小,使得正n棱錐的表面積取得最小值.

分析 設(shè)其側(cè)面與底面所成的二面角的大小為α,以正四棱錐為例,設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為2a,高為h,建立關(guān)系,利用基本不等式求解表面積最小時的體積與邊長的關(guān)系,從而確定其側(cè)面與底面所成的二面角的大。

解答 解:設(shè)其側(cè)面與底面所成的二面角的大小為α,以正四棱錐為例,體積V為定值,設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為2a,高為h,
則側(cè)面的高為h′=$\sqrt{{h}^{2}+{a}^{2}}$,
棱錐的體積V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}$4a2h,則${a}^{2}=\frac{3v}{4h}$
表面積S=4×$\frac{1}{2}$×h′×2a=4a×h′=4a$\sqrt{{h}^{2}+{a}^{2}}$=4×$\sqrt{\frac{3V}{4h}×({h}^{2}-\frac{3V}{4h})}$=4×$\sqrt{\frac{3Vh}{4}+\frac{9{V}^{2}}{16{h}^{2}}}$
∵$\frac{3Vh}{8}+\frac{3Vh}{8}+\frac{9{V}^{2}}{16{h}^{2}}$≥3×$\root{3}{\frac{3V×3V×9{V}^{2}}{64×16}}$=$\frac{9V}{4}\root{3}{\frac{3V}{16}}$,
(當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3Vh}{8}=\frac{9{V}^{2}}{16{h}^{2}}$時,即h=$\root{3}{\frac{3V}{2}}$取等號).
而此時側(cè)面與底面所成的二面角α,有$tanα=\frac{h}{a}$,
可得:$tanα=\frac{4(\frac{3}{2}V)^{\frac{2}{3}}}{3V}$
故得:側(cè)面與底面所成的二面角α=arctan($\frac{4(\frac{3}{2}V)^{\frac{2}{3}}}{3V}$).

點評 本題考察了正n棱錐的體積V與底面積,表面積之間的關(guān)系,基本不等式求解表面積最小時的體積與邊長的關(guān)系,從而確定其側(cè)面與底面所成的二面角的大小是解題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

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