Question

銷售甲，乙兩種商品所得利潤分別為P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金t（萬元）的關系有經驗公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

．今將3萬元資金投入經營甲，乙兩種商品，其中對甲種商品投資x萬元
（1）試建立總利潤y（萬元）關于x的函數表達式
（2）求x為多少時，總利潤y最大？并寫出最大利潤．

Answer 1

分析：（1）通過設出甲投資以及乙投資的數目，設立函數表達式，根據函數式直接寫出定義域．
（2）首先要對（1）的函數分析，設

3-x

=m，然后根據一元二次方程的求最值方法求解．

解答：解：（1）因為對甲種商品投資x萬元，
所以對乙種商品投資為3-x萬元
由題意知：y=P+Q=

1

5

x+

3

5

3-x

（0≤x≤3）
（2）設

3-x

=m，
則m≥0且x=3-m²y=

1

5

x+

3

5

3-x

=

1

5

(3-m2)+

3

5

m
=-

1

5

(m2-3m-3)=-

1

5

(m-

3

2

)2+

21

20

所以當m=

3

2

即：

3-x

=

3

2

，
也就是x=

3

4

萬元時，
總利潤最大，ymax=

21

20

萬元
故：應甲種商品投資

3

4

萬元，對乙種商品投資

9

4

萬元時，
總利潤最大，最大值為

21

20

萬元．

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，構造數學模型從而解決問題．需要對知識熟練的掌握并應用，屬于基礎題．