Question

以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對于函數(shù)φ（x），存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．例如，當φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sin x時，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．現(xiàn)有如下命題：
①設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；
②函數(shù)f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值；
③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）∉B；
④若函數(shù)f（x）=aln（x+2）+

x

x2+1

（x＞-2，a∈R）有最大值，則f（x）∈B；
⑤若函數(shù)f（x）=ln（x²+a）∈A，則a＞0．
其中的真命題有（　　）

• A、①③④⑤
• B、②③④⑤
• C、①③⑤
• D、①③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：由函數(shù)的定義判斷①；舉具體函數(shù)f（x）=x（-1＜x＜1）說明②錯誤；由函數(shù)的定義結(jié)合①判斷③；
由f（x）=aln（x+2）+

x

x2+1

 （x＞-2），知當a＞0或a＜0時，函數(shù)f（x）都沒有最大值．當a=0時可得命題正確；由對數(shù)函數(shù)定義域和值域間的關(guān)系判斷⑤．

解答： 解：對于①，若f（x）∈A，則f（x）的值域為R，于是，對任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）=b，故①正確；
對于②，取函數(shù)f（x）=x（-1＜x＜1），其值域為（-1，1），于是，存在M=1，使得f（x）的值域包含于[-M，M]=[-1，1]，但此時f（x）沒有最大值和最小值，故②錯誤；
對于③，當f（x）∈A時，由①可知，對任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）=b，
∴當g（x）∈B時，對于函數(shù)f（x）+g（x），如果存在一個正數(shù)M，使得f（x）+g（x）的值域包含于[-M，M]，那么對于該區(qū)間外的某一個b₀∈R，一定存在一個a₀∈D，使得f（a₀）=b-g（a₀），即f（a₀）+g（a₀）=b₀∉[-M，M]，故③正確；
對于④，f（x）=aln（x+2）+

x

x2+1

 （x＞-2），
當a＞0或a＜0時，函數(shù)f（x）都沒有最大值．
要使得函數(shù)f（x）有最大值，只有a=0，此時f（x）=

x

x2+1

 （x＞-2），易知f（x）∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴存在正數(shù)M=

1

2

，使得f（x）∈[-M，M]，故④正確；
對于⑤，若f（x）∈A值域是R，則x²+a的值要取遍所有的正實數(shù)，從而a≤0，故⑤錯誤．
∴正確的命題是①③④．
故選：D．

點評：本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，訓(xùn)練了特值法思想在解題中的應(yīng)用，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．