Question

5．為了解某地區(qū)觀眾對(duì)大型綜藝活動(dòng)《中國好聲音》的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾收看該節(jié)目的場(chǎng)數(shù)與所對(duì)應(yīng)的人數(shù)表：

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

場(chǎng)數(shù)	9	10	11	12	13	14
人數(shù)	10	18	22	25	20	5

將收看該節(jié)目場(chǎng)次不低于13場(chǎng)的觀眾稱為“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．
（1）根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料我們能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“歌迷”與性別有關(guān)？

	非歌迷	歌迷	總計(jì)
男
女
總計(jì)

（2）將收看該節(jié)目所有場(chǎng)次（14場(chǎng)）的觀眾稱為“超級(jí)歌迷”，已知“超級(jí)歌迷”中有2名女性，若從“超級(jí)歌迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．

Answer 1

分析 （1）由統(tǒng)計(jì)表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，完成2×2列聯(lián)表，求出k²的觀測(cè)值k²=$\frac{100}{33}$≈3.030＜3.841，由此得到我們不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“歌迷”與性別有關(guān)．
（2）由統(tǒng)計(jì)表可知，“超級(jí)歌迷”有5人，利用列舉法能求出至少有1名女性觀眾的概率．

解答 解：（1）由統(tǒng)計(jì)表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，
從而完成2×2列聯(lián)表如下：

	非歌迷	歌迷	總計(jì)
男	30	15	45
女	45	10	55
總計(jì)	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，
得k²的觀測(cè)值：k²=$\frac{100×（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$=$\frac{100}{33}$≈3.030．
因?yàn)?.030＜3.841，
所以我們不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“歌迷”與性別有關(guān)．
（2）由統(tǒng)計(jì)表可知，“超級(jí)歌迷”有5人，從而一切可能結(jié)果所組成的基本事件空間：
Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，
其中a_i 表示男性，i=1，2，3，b_i表示女性，i=1，2．
Ω由10個(gè)等可能的基本事件組成．
用A表示“任選2人中，至少有1名是女性”這一事件，
則A={（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，
事件A由7個(gè)基本事件組成．
所以至少有1名女性觀眾的概率P（A）=$\frac{7}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．