Question

5．已知不等式|x-2|＞1的解集與關于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相等．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）=$\sqrt{x-b}$+$\sqrt{a-x}$的最大值，以及取得最大值時x的值．

Answer 1

分析 （1）求出第一個不等式的解集確定出第二個不等式的解集，進而求出a與b的值；
（2）把a與b的值代入確定出f（x），記y=f²（x），利用二次函數(shù)性質(zhì)求出y的最大值，進而確定出f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵不等式|x-2|＞1的解集為{x|x＞1或x＞3}，
∴不等式x²-ax+b＞0的解集為{x|x＞1或x＞3}，
∴1，3為方程x²-ax+b=0的兩根，則有$\left\{\begin{array}{l}{1+3=a}\\{1×3=b}\end{array}\right.$，
解得：a=4，b=3；
（2）由（1）知f（x）=$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{4-x}$，x∈[3，4]，
記y=f²（x），則y=1+2$\sqrt{（x-3）（4-x）}$=1+2$\sqrt{-{x}^{2}+7x-12}$，
∴當x=$\frac{7}{2}$時，y=f²（x）有最大值，即f（x）_max=f（$\frac{7}{2}$）=$\sqrt{\frac{7}{2}-3}$+$\sqrt{4-\frac{7}{2}}$=$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了絕對值不等式的解法，以及判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．