【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:的離心率為,點A(2,1)是橢圓E上的點

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點A作兩條互相垂直的直線l1l2分別與橢圓E交于B,C兩點,己知ABC的面積為,求直線BC的方程

【答案】(1)(2)xx-4y-2=0

【解析】

(1)將點的坐標代入橢圓方程,結合,解方程組求得的值,從而得到橢圓方程.(2)首先考慮直線斜率不存在的情況,此時面積不合題意.當直線斜率存在是,設出之心方程,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,用弦長公式求出,同理求得,再用三角形面積為列方程,求得直線的斜率,由此求得的坐標,進而求得直線的方程.

解:(1) 因為橢圓E的離心率為,所以,

又因為a2b2c2=2c2,所以a2=2b2=2c2,

因為點A(2,1)是橢圓E上的點,所以=1

解得b2=3,a2=6,

所以橢圓E的標準方程是=1.

(2)AB的斜率不存在或為0時,AB=42,此時ABC的面積為4,不合題意舍去;

AB的斜率存在且不為0時,設AB的斜率為k,則直線AB方程為y-1=k(x-2),

解得

AB|-2|=||,

同理將上式中的k用-替換,得AC||,

因為ABC的面積為,所以AB AC||||=

化簡得,

k2≥1時,原方程可化為8k4-25k2-28=0,解得k2=4,

k2≤1時,解得k2=

k=2或-2或-,

AB的斜率2時,AC的斜率-,此時B點坐標(,-),C點坐標(,),

此時直線BC的方程為x,

AB的斜率-2時,AC的斜率,此時B點坐標(,),C點坐標(-2,-1),

此時直線BC的方程為x-4y-2=0,

綜上,直線BC的方程為xx-4y-2=0.

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1622779439 4954435482 1737932378 873509643 8426349164

8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676

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3)某期節(jié)目的10名答題選手中6人選科技類題目,4人選文藝類題目.其中選擇科技類的6人得分的平均數(shù)為7,方差為;選擇文藝類的4人得分的平均數(shù)為8,方差為.求這期節(jié)目的10名答題選手得分的平均數(shù)和方差.

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