8.計(jì)算C${\;}_{n}^{1}$+2•C${\;}_{n}^{2}$2+…+n•C${\;}_{n}^{n}$2n-1=n(1+2)n-1,可以采用以下方法:
構(gòu)造恒等式:C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$2x+C${\;}_{n}^{2}$22x2+…+C${\;}_{n}^{n}$2nxn=(1+2x)n
兩邊對(duì)x導(dǎo),得C${\;}_{n}^{1}$2+2•C${\;}_{n}^{2}$22x+••+n•C${\;}_{n}^{n}$2nxn-1=2n(1+2x)n-1
在上式中令x=1,得C${\;}_{n}^{1}$+2•C${\;}_{n}^{2}$2+…+n•C${\;}_{n}^{n}$2n-1=n(1+2)n-1=n•3n-1,
類(lèi)比上述計(jì)算方法,計(jì)算C${\;}_{n}^{1}$2+22C${\;}_{n}^{2}$22+32C${\;}_{n}^{3}$23+…+n2C${\;}_{n}^{n}$2n=2n(2n+1)3n-2

分析 構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=(1+2x)n,兩邊對(duì)x求導(dǎo),得Cn12+2•Cn222x+…+n•Cnn2nxn-1=2n(1+2x)n-1,兩邊同乘以x,得Cn12x+2•Cn222x2+…+n•Cnn2nxn=2nx(1+2x)n-1,再兩邊對(duì)x求導(dǎo),x=1,得結(jié)論

解答 解:構(gòu)造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=(1+2x)n,
兩邊對(duì)x求導(dǎo),得Cn12+2•Cn222x+…+n•Cnn2nxn-1=2n(1+2x)n-1,
兩邊同乘以x,得Cn12x+2•Cn222x2+…+n•Cnn2nxn=2nx(1+2x)n-1,
再兩邊對(duì)x求導(dǎo),得Cn12+22•Cn222x+…+n2•Cnn2nxn-1=2n(2n+1)(1+2x)n-2,
在上式中令x=1,得Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=2n(2n+1)3n-2
故答案為:2n(2n+1)3n-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理,要掌握其一般步驟是:(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題(猜想),屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

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(1)求f(x)的解析式;
(2)討論f(x)在[t,t+3]的最小值.

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19.直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(-1,2),且傾斜角為45°,則直線(xiàn)l的方程為(  )
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16.若向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°,|$\overrightarrow$|=4,($\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$)•($\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$)=-72,則向量$\overrightarrow{a}$的模為(  )
A.2B.4C.6D.12

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3.在1,2,3,…,9這9個(gè)自然數(shù)中,任取3個(gè)不同的數(shù).
(1)組成三位數(shù)“abc”,若滿(mǎn)足a<b>c的三位數(shù)叫做凸數(shù),這樣的凸三位數(shù)有多少個(gè)?
(2)設(shè)X為所取3個(gè)數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.

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13.如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2$\sqrt{3}$,BC=6.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求平面PBD與平面BDA的夾角.

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20.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).
(1)求證:PB⊥平面ADMN;
(2)求BD與平面ADMN所成的角;
(3)點(diǎn)E在線(xiàn)段PA上,試確定點(diǎn)E的位置,使二面角A-CD-E為45°.

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17.如圖,橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1和雙曲線(xiàn)C2:$\frac{{x}^{2}}{4}$-y2=1有公共頂點(diǎn)A,B,P,Q分別在C1,C2且異于A,B點(diǎn).直線(xiàn)AP,BP,AQ,BQ的斜率分別為k1,k2,k3,k4且k1+k2+k3+k4=0.
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18.如圖四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且NB=MD=2,E為BC的中點(diǎn).
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