Question

5．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，則雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 利用已知條件列出方程求出雙曲線的幾何量，a，b，c，然后求解雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距為2$\sqrt{5}$，且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直，
可得c=$\sqrt{5}$，$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，a²+b²=5，解得a=2，b=1，
雙曲線的頂點(diǎn)（2，0）到漸近線x+2y=0的距離為：$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．