Question

某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用地規(guī)劃成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū)．已知AB⊥BC，DA∥BC且AB=BC=2AD=4km，曲線段OC是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線的一段．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段的方程；
（2）如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點(diǎn)落在DC上，問如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1km²）．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出曲線所在拋物線的方程，代入C點(diǎn)的坐標(biāo)后可求拋物線方程；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，在矩形PQBN中，把兩邊|PQ|，|PN|的長用P點(diǎn)坐標(biāo)表示，由面積公式得到面積關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值．

解答：解 （1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系如圖，
依題意可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），且C（4，2）．
∵2²=2p•4，∴p=

1

2

．
故曲線段DC的方程為y²=x（0≤x≤4，y≥0）．

（2）設(shè)P（y²，y）（0≤y＜2）是曲線段OC上的任意一點(diǎn)，
則在矩形PQBN中，|PQ|=2+y，|PN|=4-y²．
∴工業(yè)區(qū)面積S=|PQ|•PN|=（2+y）（4-y²）=-y³-2y²+4y+8．
又S'=-3y²-4y+4，令S′=0，得y1=

2

3

，y1=-2．∵0＜y＜2，∴y=

2

3

．
當(dāng)y∈(0，

2

3

)時，S'＞0，S是y的增函數(shù)；當(dāng)y∈(

2

3

，2)時，Sn＜0，S是y的減函數(shù)．
∴y=

2

3

時，S取到極大值，此時|PQ|=2+y=

8

3

|PN|=4-y2=

32

9

，
故S=

8

3

×

32

9

=

256

27

≈9.5．∵y=0時S=8，∴Smax=9.5(km2)．
答：當(dāng)矩形的長為

32

9

km，寬為

8

3

km時，園區(qū)面積最大，約為9.5km²．

點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，設(shè)出動點(diǎn)P的坐標(biāo)，能把矩形面積用動點(diǎn)坐標(biāo)表示是解答該題的關(guān)鍵所在，此題是有一定難度題目．