Question

（2013•寶山區(qū)二模）如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB的大小等于

π

3

，半徑為2，在半徑OA上有一動點C，過點C作平行于OB的直線交弧AB于點P．
（1）若C是OA的中點，求PC；
（2）設(shè)∠COP=θ，求△POC周長的最大值及此時θ的值．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件，利用余弦定理，就求出PC即可；
（2）設(shè)∠COP=θ，利用正弦定理求出OC，然后求△POC周長的表達式，利用兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，然后求出最大值及此時θ的值．

解答：（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分（6分），第2小題滿分（8分）．
解：（1）在△POC中，∠OCP=

2π

3

，OP=2，OC=1
由OP2=OC2+PC2-2OC•PCcos

2π

3

得PC²+PC-3=0，解得PC=

-1+ 13

2

．
（2）∵CP∥OB，∴∠CPO=∠POB=

π

3

-θ，
在△POC中，由正弦定理得

OP

sin∠PCO

=

CP

sinθ

，即

2

sin 2π 3

=

CP

sinθ

∴CP=

4

3

sinθ，又

OC

sin( π 3 -θ)

=

CP

sin 2π 3

∴OC=

4

3

sin(

π

3

-θ)．
記△POC的周長為C（θ），則C(θ)=CP+OC+2=

4

3

sinθ+

4

3

sin(

π

3

-θ)+2
=

4

3

(

3

2

cosθ+

1

2

sinθ)+2=

4

3

sin(θ+

π

3

)+2
∴θ=

π

6

時，C（θ）取得最大值為

4 3

3

+2．

點評：本題考查解三角形的知識，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．