Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（Ⅰ）若直線y=x+m與函數(shù)f（x）的圖象相切，求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）證明曲線y=f（x）與曲線y=x-

1

x

有唯一公共點；
（Ⅲ）設0＜a＜b，比較

f(b)-f(a)

b-a

與

2

a+b

的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）設切點為（x₀，y₀），由k=f′（x₀）=1求解．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-(x-

1

x

)=lnx-x+

1

x

，對其求導，討論其單調(diào)性，結(jié)合著h（1）=0證明該命題．
（Ⅲ）欲比較

f(b)-f(a)

b-a

=

ln b a

b-a

與

2

a+b

的大小，注意到b-a＞0，也就是比較ln

b

a

與

2(b-a)

b+a

的大小，再進行作差變形，ln

b

a

-

2(b-a)

b+a

=ln

b

a

-

2( b a -1)

b a +1

，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，（x＞1），求導研究其在（1，+∞）上的性質(zhì)．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x

，
設切點為（x₀，y₀），則k=

1

x0

=1，
∴x₀=1，y₀=lnx₀=0，
代入y=x+m．得m=-1．
（Ⅱ）令h(x)=f(x)-(x-

1

x

)=lnx-x+

1

x

，
則h′(x)=

1

x

-1-

1

x2

=

-x2+x-1

x2

=

-(x- 1 2 )2- 3 4

x2

＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
又h（1）=ln1-1+1=0，∴x=1是函數(shù)h（x）唯一的零點，
故點（1，0）是兩曲線唯一的公共點．
（Ⅲ）

f(b)-f(a)

b-a

=

lnb-lna

b-a

=

ln b a

b-a

，
要比較=

ln b a

b-a

與

2

a+b

的大小，
∵b-a＞0，∴只要比較ln

b

a

與

2(b-a)

b+a

的大�。�
∵ln

b

a

-

2(b-a)

b+a

=ln

b

a

-

2( b a -1)

b a +1

，
構(gòu)造函數(shù)φ（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

，（x＞1）
則φ′（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

，
顯然φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
又當x=1時，φ（1）=0，∴當x＞1時，φ（x）＞0，
即lnx-

2(x-1)

x+1

＞0．
則有ln

b

a

-

2(b-a)

b+a

＞0，即

lnb-lna

b-a

＞

2

a+b

成立．
即得

f(b)-f(a)

b-a

＞

2

a+b

．

點評：本題屬于中等偏難的題型，特別是第三問的處理，“轉(zhuǎn)化”思想體現(xiàn)的尤為明顯，對于差式ln

b

a

-

2(b-a)

b+a

=ln

b

a

-

2( b a -1)

b a +1

，其中的代數(shù)變換是構(gòu)造合適函數(shù)的關鍵，使得問題迎刃而解．