【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）探究：是否存在實數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為;（2）.

【解析】【試題分析】（1）求導后令導數(shù)為零，求出極值點并寫出單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）知函數(shù)的最小值為，構造函數(shù)，利用導數(shù)可求得的最大值為零，故，當且僅當時取等號，又，從而得到.

【試題解析】

（1）依題意， ，令，解得，故，

故當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增；

故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為

（2），其中，

由題意知在上恒成立， ，

由（1）可知，∴ ，

∴，記，則，令，得.

當變化時， ， 的變化情況列表如下：

∴，故，當且僅當時取等號，

又，從而得到.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形且，側(cè)面底面，且側(cè)面是正三角形，是中點.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，，且，證明：（為自然對數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠共有名工人，已知這名工人去年完成的產(chǎn)品數(shù)都在區(qū)間（單位：萬件）內(nèi)，其中每年完成萬件及以上的工人為優(yōu)秀員工，現(xiàn)將其分成組，第組、第組、第組、第組、第組對應的區(qū)間分別為，，，，，并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求的值，并求去年優(yōu)秀員工人數(shù)；

（2）選取合適的抽樣方法從這名工人中抽取容量為的樣本，求這組分別應抽取的人數(shù)；

（3）現(xiàn)從（2）中人的樣本中的優(yōu)秀員工中隨機選取名傳授經(jīng)驗，求選取的名工人在同一組的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿足以下三個條件：①對于任意的，都有；②對于任意的都有③函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則下列結論中正確的是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，將曲線向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為.

（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線上到直線的距離最短的點的直角坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某網(wǎng)絡平臺從購買該平臺某課程的客戶中，隨機抽取了100位客戶的數(shù)據(jù)，并將這100個數(shù)據(jù)按學時數(shù)，客戶性別等進行統(tǒng)計，整理得到如表：

學時數(shù)

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

（1）根據(jù)上表估計男性客戶購買該課程學時數(shù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結果保留小數(shù)點后兩位）；

（2）從這100位客戶中，對購買該課程學時數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人購買的學時數(shù)都不低于15的概率．

（3）將購買該課程達到25學時及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學時以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有99．9%的把握認為“十分愛好該課程者”與性別有關？

非十分愛好該課程者

十分愛好該課程者

合計

男性

女性

合計

100

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某小學要求下午放學后的17：00-18：00接學生回家，該學生家長從下班后到達學校（隨機）的時間為17：30-18：30，則該學生家長從下班后，在學校規(guī)定時間內(nèi)接到孩子的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年是中華人民共和國成立70周年．為了讓人民了解建國70周年的風雨歷程，某地的民調(diào)機構隨機選取了該地的100名市民進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，…，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）現(xiàn)從年齡在，，內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機選取3人進行座談，用表示年齡在）內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；

（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為．當最大時，求的值．

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