16.已知函數(shù)f(x)=2x3+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象(如圖所示)經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0).
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若方程f(x)-m=0恰有2個(gè)根,求m的值.

分析 (Ⅰ)根據(jù)圖象可得得f'(x)=6x2+2bx+c=0的解為x=1,x=2,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,聯(lián)立方程組求解即可;
(Ⅱ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出相應(yīng)函數(shù)值,即可求實(shí)數(shù)m的值.

解答 解:(Ⅰ)依題意,可得f'(x)=6x2+2bx+c=0的解為x=1,x=2,
故$\left\{\begin{array}{l}1+2=-\frac{3}\\ 1×2=\frac{c}{6}.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}b=-9\\ c=12.\end{array}\right.$
所以f(x)=2x3-9x2+12x.
(Ⅱ)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),
當(dāng)f'(x)>0時(shí),x<1或x>2;
當(dāng)f'(x)<0時(shí),1<x<2.
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,1)和(2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(1,2),
當(dāng)x=1時(shí),f(x)極大=5,當(dāng)x=2時(shí),f(x)極小=4.
故方程f(x)-m=0恰有2個(gè)根,得m=4或m=5.

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性,以及觀察圖形的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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6.已知函數(shù)g(x)滿足g(x)=g($\frac{1}{x}$),當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$,1]時(shí),g(x)=-3lnx.若函數(shù)f(x)=g(x)-mx在區(qū)間[$\frac{1}{3}$,3]上有三個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.[$\frac{ln3}{3}$,$\frac{1}{e}$)B.[ln3,$\frac{3}{e}$)C.[ln3,$\frac{1}{e}$)D.(0,$\frac{1}{e}$)

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7.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在AB上且EB=2AE,AC與DE交于點(diǎn)F,則△CDF的周長與△AEF的周長之比為( 。
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4.函數(shù)f(x)=loga(2x-3)(a>0且a≠1)的定義域?yàn)椋?\frac{3}{2}$,+∞),圖象過的定點(diǎn)為(2,0).

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11.如果函數(shù)f(x)=x2-ax-3在區(qū)間(-∞,3]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a滿足的條件使( 。
A.a≤6B.a≥6C.a≥3D.a≥-3

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1.若由一個(gè)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得有99.9%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)系.那么K2的取值范圍為K2≥10.828.(根據(jù)參照表)

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5.甲、乙、丙三人參加微信群搶紅包游戲,規(guī)則如下:每輪游戲發(fā)50個(gè)紅包,每個(gè)紅包金額為x元,x∈[1,5].已知在每輪游戲中所產(chǎn)生的50個(gè)紅包金額的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求a的值,并根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)紅包金額的眾數(shù);
(Ⅱ)以頻率分布直方圖中的頻率作為概率,若甲、乙、丙三人從中各搶到一個(gè)紅包,其中金額在[1,2)的紅包個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望.

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已知函數(shù).

(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);

(2)若,當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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