【題目】某中學為了普及奧運會知識和提高學生參加體育運動的積極性,舉行了一次奧運知識競賽.隨機抽取了30名學生的成績,繪成如圖所示的莖葉圖,若規(guī)定成績在75分以上(包括75分)的學生定義為甲組,成績在75分以下(不包括75分)定義為乙組.
(Ⅰ)在這30名學生中,甲組學生中有男生7人,乙組學生中有女生12人,試問有沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關;
(Ⅱ)記甲組學生的成績分別為x1 , x2 , …,x12 , 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,求輸出的S的值;
(Ⅲ)競賽中,學生小張、小李同時回答兩道題,小張答對每道題的概率均為 ,小李答對每道題的概率均為 ,兩人回答每道題正確與否相互獨立.記小張答對題的道數(shù)為a,小李答對題的道數(shù)為b,X=|a﹣b|,寫出X的概率分布列,并求出X的數(shù)學期望.

附:K2= ;其中n=a+b+c+d
獨立性檢驗臨界表:

P(K2>k0

0.100

0.050

0.010

k0

2.706

3.841

6.635

【答案】解:(Ⅰ)作出2×2列聯(lián)表:

甲組

乙組

合計

男生

7

6

13

女生

5

12

17

合計

12

18

30

由列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式,計算得K2= = ≈1.83,
因為1.83<2.706,故沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關;
(Ⅱ)根據(jù)程序運行的過程,得出該程序運行后輸出的是求甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù),
所以輸出S= ×(75+75+76+76+78+80+81+81+82+84+87+91)=80.5;
(Ⅲ)由已知得X的可能取值為0,1,2,
P(X=0)=(1﹣ )(1﹣ )(1﹣ )+ (1﹣ = ,
P(X=1)= (1﹣ )(1﹣ )+(1﹣ )(1﹣ + = ,
P(X=2)= (1﹣ )= ,
∴X的分布列為:

X

0

1

2

P

X的數(shù)學期望值為EX=0× +1× +2× =
【解析】(Ⅰ)作2×2列聯(lián)表,計算K2 , 對照數(shù)表即可得出結論;(Ⅱ)根據(jù)程序運行的過程,得出該程序運行后輸出的是求平均數(shù),求出即可;(Ⅲ)由已知得X的可能取值,計算對應的概率值,寫出X的分布列,計算數(shù)學期望值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中,對于隨機變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列:一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布,簡稱分布列.

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