Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線x²=4y的準(zhǔn)線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，直線OM、ON的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，求△MON的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的準(zhǔn)線方程，由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則b=1，利用橢圓的離心率公式，即可求得a的值，即可求出橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，（m≠0），代入橢圓方程，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出△MON的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
拋物線x²=4y的準(zhǔn)線，y=-1，由橢圓的頂點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則b=1，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，（m≠0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
則x₁+x₂=-$\frac{8km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}+1-{m}^{2}）}}{4{k}^{2}+1}$，
點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S_△MON=$\frac{1}{2}$×丨MN丨×d=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$，
∵k₁k₂=-$\frac{1}{4}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{m}^{2}-4{k}^{2}}{4{m}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴4k²=2m²-1，
∴S_△MON=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}（1-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）}$=2$\sqrt{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）}$=1．
∴△MON的面積1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程、三角形面積的求法，考查韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式、直線方程、橢圓性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、屬于中檔題．