Question

19．已知雙曲線$c：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為$y=±\frac{3}{4}x$，且其焦點為（0，5），則雙曲線C的方程（　�。�

• A． $\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，由題意可得4a=3b，設a=3t，b=4t，（t＞0），求得c，解方程可得t=1，即可得到a，b的值，可得雙曲線的方程．

解答 解：雙曲線$c：\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由漸近線方程為$y=±\frac{3}{4}x$，可得$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
設a=3t，b=4t，（t＞0），則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5t，
由其焦點為（0，5），可得c=5=5t，
可得t=1，a=3，b=4，
則雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用雙曲線的性質：漸近線方程和基本量a，b，c的關系，考查運算能力，屬于基礎題．