Question

【題目】已知橢圓：的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F，連結(jié)TF并延長與橢圓交于點(diǎn)S，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M的直線AB與交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線AB與直線交于點(diǎn)N，記PA，PB，PN的斜率分別為，，，則是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若是，請(qǐng)求出的值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）存在,

【解析】

（1）易得，由連結(jié)TF并延長與橢圓交于點(diǎn)S，且，可得，代入橢圓方程可得，可得橢圓方程；

（2）可得M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為：，設(shè)，，,可得N點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，可得，聯(lián)立直線與橢圓方程，可得 ，的值，，計(jì)算的值，代入 ，，與進(jìn)行比較可得的值.

解：由橢圓：的上頂點(diǎn)為，可得，

連結(jié)TF并延長與橢圓交于點(diǎn)S，且，可得，

代入橢圓方程：，可得，可得，結(jié)合，

可得，，故橢圓方程為：；

（2）可得M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程為：，

設(shè)，,可得N點(diǎn)坐標(biāo)，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，可得，

聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，化簡可得：，

可得：，，

可得：，，

可得，

代入：，，

可得：，化簡可得，

由恒成立，可得，

可得當(dāng)時(shí)恒成立.