Question

【題目】已知焦距為2的橢圓：的右頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（在的左邊），在軸上的射影為，且四邊形是平行四邊形．

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為的直線與橢圓交于兩個不同的點(diǎn)，．

（i）若直線過原點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不重合，是直線上一點(diǎn)，且是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求的值；

（ii）若是橢圓的左頂點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是軸上異于點(diǎn)的點(diǎn)，且以為直徑的圓恒過直線和的交點(diǎn)，求證：點(diǎn)是定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1） （2）（i）或； （ii）證明見解析

【解析】

（1）求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形是平行四邊形，即得，結(jié)合可解得；

（2）(i) 設(shè)直線方程為，求出坐標(biāo)，設(shè)，由等腰直角三角形，有，到直線的距離為，根據(jù)關(guān)系式可求得；

(ii)設(shè)直線方程為，求出點(diǎn)坐標(biāo)，又求得點(diǎn)坐標(biāo)，以為直徑的圓恒過直線和的交點(diǎn)，則，設(shè)，由斜率乘積為-1可得．

解：（1）由題意可得，即，

直線代入橢圓方程可得，

解得，

可得，

由四邊形是平行四邊形，

可得，

∴，

解得，

可得橢圓的方程為；

（2）（i）由題意，直線方程為，代入橢圓方程，可得，

解得，

可設(shè)，

由是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

可設(shè)，到直線的距離為，

即有，，

即為，，

由，代入第二式，化簡整理可得，

解得或；

（ii）證明：由，可得直線的方程是，

代入橢圓方程可得，，

可得，

解得，

，

即，

設(shè)，，由題意可得，，

以為直徑的圓恒過直線和的交點(diǎn)，

可得，

即有，

即為，

解得．

故點(diǎn)是定點(diǎn)，即為原點(diǎn)．