Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且$a=\sqrt{5}$，b=3，sinC=2sinA．
（1）求c的值；
（2）求cos2A的值和三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理得到c=$\frac{sinC}{sinA}$a，將a的值及sinC=2sinA代入，即可求出c的值；
（2）利用余弦定理表示出cosA，將a，b及求出的c值代入，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinA的值，進而利用二倍角的正弦函數(shù)公式求出sin2A及cos2A的值，可求三角形ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵a=$\sqrt{5}$，sinC=2sinA，
∴根據(jù)正弦定理得：c=$\frac{sinC}{sinA}$a=2a=2$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{5}$，b=3，c=2$\sqrt{5}$，
∴由余弦定理得：cosA=$\frac{9+20-5}{2×3×2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
又A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sin2A=2sinAcosA=$\frac{4}{5}$，cos2A=cos²A-sin²A=$\frac{3}{5}$，
三角形ABC的面積S=$\frac{1}{2}×3×2\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=3．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．