Question

已知函數(shù)f（x）=mx²+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A．m＞

  1

  2

• B．m＜1
• C．m≤

  1

  2

• D．m≥

  1

  2

Answer 1

分析：f（x）=mx²+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)?f′（x）=2mx+

1

x

-2≥0在定義域（0，+∞）內(nèi)恒成立．分離變量m，構(gòu)造函數(shù)g（x）=y=

2x-1

2x2

（x＞0），只需m≥g（x）_max即可．

解答：解：∵f（x）=mx²+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
∴f′（x）=2mx+

1

x

-2≥0在定義域（0，+∞）內(nèi)恒成立．
∴2mx≥2-

1

x

，
∴m≥

2- 1 x

2x

=

2x-1

2x2

（x＞0）．
令g（x）=y=

2x-1

2x2

（x＞0），m≥g（x）_max．
則2yx²-2x+1=0，
由于y不恒為0，
∴當(dāng)y≠0時，方程2yx²-2x+1=0有根的條件為：△=4-4×2y×1≥0，
∴y≤

1

2

．
∴m≥

1

2

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．