18.如圖5所示,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形BDFE是平行四邊形,點M,N分別是BE,CF的中點.
(1)求證:MN∥平面ABCD;
(2)若△ABE是等邊三角形且平面ABE⊥平面ABCD,記三棱柱E-ABF的體積為S1,四棱錐F-ABCD的體積為S2,求$\frac{S_1}{S_2}$的值.

分析 (1)取DF的中點H,連接MH,NH,推導(dǎo)出NH∥CD.MH∥BD,從而平面MNH∥平面ABCD,由此能證明MN∥平面ABCD.
(2)推導(dǎo)出DF∥平面ABE,從而S1=VE-ABF=VF-ABE=VD-ABE=VE-ABD,推導(dǎo)出EF∥平面ABCD,從而S2=VF-ABCD=VE-ABCD=2VE-ABD=2S1,由此能求出結(jié)果.

解答 證明:(1)如圖,取DF的中點H,連接MH,NH,
∵點N,H分別是CF,DF的中點,∴NH∥CD.
∵EBDF是平行四邊形,且點M,H是BE,DF的中點,∴MH∥BD,
又MH∩NH=H,BD∩CD=D,∴平面MNH∥平面ABCD,
又∵M(jìn)N?平面MNH,∴MN∥平面ABCD.
解:(2)∵DF∥BE,DF?平面ABE,BE?平面ABE,
∴DF∥平面ABE,
∴S1=VE-ABF=VF-ABE=VD-ABE=VE-ABD,
又EF∥BD,EF?平面ABCD,BD?平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD,
∴S2=VF-ABCD=VE-ABCD=2VE-ABD=2S1,
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{2}$.

點評 本題考查線面垂直的證明,考查三棱柱與四棱錐的體積之比的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意等體積法的合理運(yùn)用.

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