數(shù)軸上有一列點
P
 
1
P
 
2
,
P
 
3
,…,
P
 
n
,…
,已知當n≥2時,點
P
 
n
是把線段
P
 
n-1
P
 
n+1
作n
等分的分點中最靠近
P
 
n+1
的點,設(shè)線段
P
 
1
P
 
2
,
P
 
2
P
 
3
,…,
P
 
n
P
 
n+1
的長度分別為
a
 
1
,
a
 
2
a
 
3
,…,
a
 
n
,其中
a
 
1
=1

(Ⅰ)寫出
a
 
2
,
a
 
3
a
 
n
(n≥2,n∈N*)
的表達式;
(Ⅱ)證明
a
 
1
+
a
 
2
+
a
 
3
+…+
a
 
n
<3(n∈N*)
;
(Ⅲ)設(shè)點
M
 
n
(n,
a
 
n
)(n>2,n∈N*)
,在這些點中是否存在兩個點同時在函數(shù)y=
k
(x-1)2
(k>0)
的圖象上,如果存在,請求出點的坐標;如果不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)依題意當n≥2時,Pn-1Pn=(n-1)PnPn+1,結(jié)合已知可得an與an-1的遞推公式,結(jié)合
a
 
1
=1
,代入即可求解
(Ⅱ)由(I)可知,
1
(n-1)!
=
1
(n-1)•(n-2)•…3•2•1
1
2•2…2
=
1
2n-2
,利用放縮法,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可證
(Ⅲ)先假設(shè)存在兩個點A(p,
a
 
p
),B(q,
a
 
q
)
都在函數(shù)y=
k
(x-1)2
(k>0)
的圖象上,把點的 坐標代入可得k=
a
 
p
(p-1)2=
a
 
q
(q-1)2
,然后進行推理,即可判斷
解答:解:(Ⅰ)依題意當n≥2時,有
P
 
n-1
P
 
n
=(n-1)
P
 
n
P
 
n+1
,即
a
 
n
=
a
 
n-1
n-1

a
 
1
=1
,
a
 
2
=1,
a
 
3
=
a
 
1
2
=
1
2
a
 
n
=
1
n-1
a
 
n-1
=
1
n-1
1
n-2
a
 
n-2
=…=
1
(n-1)
1
(n-2)
1
2
-1=
1
(n-1)!
(n≥2)

a
 
n
=
1
(n-1)!
(n≥2)

(Ⅱ)證明:因為當n≥2時,
1
(n-1)!
=
1
(n-1)•(n-2)•…3•2•1
1
2•2…2
=
1
2n-2
,
a
 
1
+
a
 
2
+
a
 
3
+…+
a
 
n
=1+
1
1i
+
1
2!
+…+
1
(n-1)i
≤1+1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-2
=1+
1-(
1
2
)
n-1
1-
1
2
=3-(
1
2
)n-2<3

a
 
1
+
a
 
2
+…+
a
 
n
<3(n≥2)
,
a
 
1
=1<3
顯然成立,
a
 
1
+
a
 
2
+
a
 
3
+…+
a
 
n
<3(n∈N*)
;
(Ⅲ)證明:假設(shè)存在兩個點A(p,
a
 
p
),B(q,
a
 
q
)
(其中p≠q,p,q∈N*,p>2,q>2)都在函數(shù)y=
k
(x-1)2
(k>0)
的圖象上,
k=
a
 
p
(p-1)2=
a
 
q
(q-1)2

(p-1)2
(p-1)!
=
(q-1)2
(q-1)!
,設(shè)
b
 
n
=
n2
n!
(n>2)

b
 
n
-
b
 
n-1
=
n2
n!
-
(n-1)2
(n-1)!
=
n-(n-1)2
(n-1)!
=-
n2-3n+1
(n-1)
<0
,
b
 
2
b
 
3
b
 
4
>…>
b
 
n
>…

(p-1)2
(p-1)!
=
(q-1)2
(q-1)!
不成立,故不存在滿足題設(shè)條件的兩個點.
點評:本題綜合考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用,不等式的放縮法在證明不等式中的應(yīng)用,等比數(shù)列 的求和公式的應(yīng)用及存在性問題的求解
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